Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸是短軸的兩倍，點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，不過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為k₁、k、k₂，且k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，記△AOB的面積為S．
（1）求橢圓C的方程；
（2）試判斷|OA|²+|OB|²是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由？
（3）求△AOB面積S的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸是短軸的兩倍，點(diǎn)P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）在橢圓上，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，根據(jù)k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求出k，進(jìn)而表示出|OA|²+|OB|²，即可得出結(jié)論；
（3）表示出△ABO的面積，利用基本不等式，即可求S的最大值．

解答 解：（1）由題意可知a=2b且$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1$，∴a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l的方程代入橢圓方程，消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，且△=16（1+4k²-m²）＞0，
∵k₁、k、k₂恰好構(gòu)成等比數(shù)列．
∴k²=k₁k₂=$\frac{（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
∴-4k²m²+m²=0，∴k=±$\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=±2m，x₁x₂=2m²-2
∴|OA|²+|OB|²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=$\frac{3}{4}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+2=5，
∴|OA|²+|OB|²是定值為5．
（3））S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}\sqrt{1+{k}^{2}•}|{x}_{1}-{x}_{2}\\;|•\\;\frac{|\\;m\\;|\\;\\;\\;}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{（2-{m}^{2}）{m}^{2}}≤\sqrt{（\frac{2-{m}^{2}+{m}^{2}}{2}}）^{2}=1$．
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)，S的最大值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．