Question

已知a，b是正數(shù)，且滿足2＜a+2b＜4．那么a²+b²的取值范圍是

1. A.
   （，）
2. B.
   （，16）
3. C.
   （1，16）
4. D.
   （，4）

Answer 1

B
分析：在aob坐標(biāo)系中，作出不等式表示的平面區(qū)域，得到如圖的四邊形ABCD．由坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式可得z=a²+b²表示區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由此對圖形加以觀察可得a²+b²的上限與下限，即可得到本題答案．
解答：以a為橫坐標(biāo)、b為縱坐標(biāo)，在aob坐標(biāo)系中作出不等式2＜a+2b＜4表示的平面區(qū)域，
得到如圖的四邊形ABCD內(nèi)部，（不包括邊界）
其中A（2，0），B（0，1），C（0，2），D（4，0）
設(shè)P（a，b）為區(qū)域內(nèi)一個動點(diǎn)，
則|OP|=表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離
∴z=a²+b²=|OP|²，
可得當(dāng)P與D重合時，P到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)，
∴z=a²+b²=16
可得當(dāng)P點(diǎn)在直線BA上，且滿足OP⊥AB時，
P到原點(diǎn)距離最近，等于=
∴z=a²+b²=
綜上所述，可得a²+b²的取值范圍是（，16）
故選：B
點(diǎn)評：本題給出二元一次不等式組，求z=a²+b²的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．