Question

3．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知
曲線C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．
（I）寫出C₁的直角坐標方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)C₁和C₂的交點為P，求點P在直角坐標系中的坐標．

Answer 1

分析 （ I）已知曲線C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，展開可得：$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）=3，利用互化公式可得：C₁的直角坐標方程．曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得C₂的普通方程．
（ II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3=0}\\{y={x}^{2}+1（x≥0）}\end{array}\right.$，即可解得交點坐標．

解答 解：（ I）已知曲線C₁：$\sqrt{2}$ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=3，展開可得：$\sqrt{2}$ρ×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ-cosθ）=3，可得：C₁的直角坐標方程：x-y+3=0．
曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{t}}\\{y=t+1}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得：C₂的普通方程：y=x²+1（x≥0）．
（ II）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3=0}\\{y={x}^{2}+1（x≥0）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴P（2，5）．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、曲線交點，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．