Question

6．如圖，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，點(diǎn)A在邊PB上，AD∥BC，PB=3BC=6，現(xiàn)沿AD將△PAD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）當(dāng)CD=BC時(shí)，證明：直線BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）當(dāng)三棱錐P-ABD的體積取得最大值時(shí)，求平面PBD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)CD=BC時(shí)，四邊形ABCD是正方形，連結(jié)AC、BD，則BD⊥AC，再推導(dǎo)出PA⊥AD，從而BD⊥PA，由此能證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）設(shè)DC=t，t∈（0，6），則PA=6-t，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PBD與平面PCD所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）在直角梯形PBCD中，AD∥BC，AB∥DC，DC⊥BC，
當(dāng)CD=BC時(shí)，四邊形ABCD是正方形，
連結(jié)AC、BD，則BD⊥AC，
∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，
PA?平面ABCD，故BD⊥PA，
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）設(shè)DC=t，t∈（0，6），則PA=6-t，
由（Ⅰ）知V_P-ABD=$\frac{1}{3}[\frac{1}{2}•（6-t）•t]×2$≤$\frac{1}{3}[\frac{（6-t）+t}{2}]^{2}$=3，
當(dāng)6-t=t，即t=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)AP=AB=DC=3．
如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（3，0，0），D（0，2，0），P（0，0，3），C（3，2，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面PCD的一個(gè)法向量，
∵$\overrightarrow{DC}$=（3，0，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=3x=0}\\{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{n}=-2y+3z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，3，2），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（a，b，c）是平面PBD的法向量，
∵$\overrightarrow{BD}$=（-3，2，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，-2，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=-3a+2b=0}\\{\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{m}=-2b+3c=0}\end{array}\right.$，取c=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，3，2），
設(shè)平面PBD與平面PCD所成銳二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{13}{\sqrt{13}•\sqrt{17}}$=$\frac{\sqrt{221}}{17}$．
∴平面PBD與平面PCD所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{221}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．