Question

我們用部分自然數(shù)構(gòu)造如下的數(shù)表：用a_ij(i≤j)表示第i行第j個(gè)數(shù)(i、j為正整數(shù))，使a_ij＝a_ii＝i；每行中的其余各數(shù)分別等于其“肩膀”上的兩個(gè)數(shù)之和(第一、二行除外，如圖)，設(shè)第n(n為正整數(shù))行中各數(shù)之和為B．

(Ⅰ)試寫出b₂－2b₁，b₃－2b₂，b₄－2b₃，b₅－2b₄，并推測(cè)b_n+1和b_n的關(guān)系(無需證明)；

(Ⅱ)證明數(shù)列{b_n＋2}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；

(Ⅲ)數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項(xiàng)b_p，b_q，b_r(p，q，r為正整數(shù))恰好成等差數(shù)列？若存在求出p，q，r的關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)； 　　可見：；；；，2分 　　猜測(cè)：(或或)　4分 　　(2)由(1)，6分 　　所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 　　∴，即 　　(注：若考慮，且不討論，扣1分)　8分 　　(3)若數(shù)列中存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列， 　　不妨設(shè)，顯然，是遞增數(shù)列，則　9分 　　即，于是　11分 　　由且知，， 　　∴等式的左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立， 　　故數(shù)列{bn}中不存在不同的三項(xiàng)恰好成等差數(shù)列．13分