Question

14．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若f（x）≥m+$\frac{4}{m}$-k對任意的m∈[3，5]恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，求出函數(shù)的極小值即可；
（Ⅱ）問題轉化為$f{（x）_{min}}≥m+\frac{4}{m}-k$對?m∈[3，5]恒成立，即$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$對?m∈[3，5]恒成立，令$g（m）=m+\frac{4}{m}$，根據(jù)函數(shù)的單調性求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），f'（x）=1+1nx，
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{e}$；令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{e}$，
故當$x∈（0，\frac{1}{e}）$時，f（x）單調遞減；
當$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$時，f（x）單調遞增．
故當$x=\frac{1}{e}$時，f（x）取得極小值，
且$f{（x）_{極小值}}=f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}1n\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$，無極大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$，
要使$f（x）≥m+\frac{4}{m}-k$對?m∈[3，5]恒成立，
只需$f{（x）_{min}}≥m+\frac{4}{m}-k$對?m∈[3，5]恒成立，
即$-\frac{1}{e}≥m+\frac{4}{m}-k$，即$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$對?m∈[3，5]恒成立，
令$g（m）=m+\frac{4}{m}$，則$g'（m）=1-\frac{4}{m^2}=\frac{{{m^2}-4}}{m^2}$，
故m∈[3，5]時g'（m）＞0，所以g（m）在[3，5]上單調遞增，
故$g{（m）_{max}}=g（5）=5+\frac{4}{5}=\frac{29}{5}$，
要使$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$對?m∈[3，5]恒成立，
只需$k-\frac{1}{e}≥g{（m）_{max}}$，
所以$k≥\frac{29}{5}+\frac{1}{e}$，
即實數(shù)k的取值范圍是$[\frac{29}{5}+\frac{1}{e}，+∞）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道綜合題．