Question

13．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），再以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系有相同的長度單位，在該極坐標(biāo)系中圓C的方程為ρ=4sinθ．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)圓C與直線l將于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4），求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，能求出圓C的直角坐標(biāo)方程．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，化簡整理，再由韋達(dá)定理和t的幾何意義能求出|MA|+|MB|的值．

解答 解：（1）圓C的方程為ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0．
即x²+（y-2）²=4．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，整理，得t²-3$\sqrt{2}$t+1=0，
△=18-4=14＞0，設(shè)t₁，t₂為方程的兩個(gè)實(shí)根，
則t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=1，∴t₁，t₂均為正數(shù)，
又直線l過M（1，4），
由t的幾何意義得：
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，同時(shí)考查直線與圓的位置關(guān)系，考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．