Question

19．如圖，在四棱錐E-ABCD中，△ABD是正三角形，△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，EC⊥BD，連結(jié)AC交BD于點O．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）判斷在線段AE上是否存在點M，使得DM∥平面BEC，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：BD⊥AC，利用EC⊥BD，AC∩EC=C，可得BD⊥平面AEC，即可證明平面AEC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）取AB中點N，連接MN，DN，MN，易證MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可證得平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，于是DM∥平面BEC．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)BD的中點為O′，則AO′⊥BD，CO′⊥BD．∴A，O′，C三點共線，
∴BD⊥AC，
∵EC⊥BD，AC∩EC=C，
∴BD⊥平面AEC，
∵BD?平面ABCD，
∴平面AEC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）M為線段AE的中點時，DM∥平面EBC，理由如下：
取AB中點N，連接MN，DN，
∵M是AE的中點，
∴MN∥BE，又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的判定定理與面面平行的判定定理的應(yīng)用，著重考查分析推理能力與表達、運算能力，屬于中檔題．