Question

8．甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽，而前一局的失敗者輪空．比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止．設在每局中參賽者勝負的概率均為$\frac{1}{2}$，且各局勝負相互獨立．求：
（1）打滿4局比賽還未停止的概率；
（2）比賽停止時已打局數ξ的分布列與期望E（ξ）．令A_k，B_k，C_k分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝．

Answer 1

分析 （1）由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式能求出打滿4局比賽還未停止的概率．
（2）ξ的所有可能取值為2，3，4，5，6，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，
打滿4局比賽還未停止的概率為：
P（A₁C₂B₃A₄）+P（B₁C₂A₃B₄）=$\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{8}$．
（2）ξ的所有可能取值為2，3，4，5，6，
P（ξ=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=3）=P（A₁C₂C₃）+P（B₁C₂C₃）=$\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=4）=P（A₁C₂B₃B₄）+P（B₁C₂A₃A₄）=$\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{4}}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=5）=P（A₁C₂B₃A₄A₅）+P（B₁C₂A₃B₄B₅）=$\frac{1}{{2}^{5}}+\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{16}$，
P（ξ=6）=P（A₁C₂B₃A₄C₅）+P（B₁C₂A₃B₄C₅）=$\frac{1}{{2}^{5}}+\frac{1}{{2}^{5}}$=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{16}$

∴E（ξ）=$2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{16}+6×\frac{1}{16}$=$\frac{47}{16}$．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查概率的求法及應用，考查考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化化歸思想，是中檔題．