Question

6．在△ABC中，已知AC=4，C=$\frac{π}{4}$，B∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），點(diǎn)D在邊BC上，且AD=BD=3，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=6．

Answer 1

分析 根據(jù)條件畫(huà)出圖形，容易判斷出∠BDA為銳角，而在△ACD中，根據(jù)正弦定理可求出sin∠ADC的值，進(jìn)而得出cos∠BDA的值，而$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}$，這樣帶入$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出該數(shù)量積的值．

解答 解：如圖，
AD=BD；
∴∠DAB=∠B；
∵$B∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$；
∴$0＜∠BDA＜\frac{π}{2}$；
在△ACD中，AC=4，AD=3，C=$\frac{π}{4}$，由正弦定理得：
$\frac{AD}{sinC}=\frac{AC}{sin∠ADC}$；
即$\frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{4}{sin∠ADC}$；
∴$sin∠ADC=\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
∴$cos∠BDA=\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=（\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}）•（-\overrightarrow{DA}）$
=$-\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DA}+{\overrightarrow{DA}}^{2}$
=$-3×3×\frac{1}{3}+9$
=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 考查等腰三角形的兩底角相等，三角形內(nèi)角和為π，以及正弦定理，向量減法的幾何意義，相反向量的概念，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式．