Question

18．已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積為$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，則球O的表面積為4π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質即可求出OO₁，進而求出底面ABC上的高PD，即可計算出三棱錐的體積，從而建立關于r的方程，即可求出r，從而解決問題．

解答 解：根據(jù)題意作出圖形
設球心為O，球的半徑r．過ABC三點的小圓的圓心為O₁，則OO₁⊥平面ABC，
延長CO₁交球于點D，則PD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴OO₁=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∴高PD=2OO₁=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$，
∵△ABC是邊長為1的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱錐P-ABC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$，
∴r=1．則球O的表面積為4π．
故答案為：4π．

點評 本題考查棱錐的體積，考查球內接多面體，解題的關鍵是確定點P到面ABC的距離．