【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的最大值;
(2)若函數(shù)存在兩個極值點,,求證:.
【答案】(1)當(dāng)時,的最大值為,當(dāng)時,的最大值為1;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分為,,三種情況,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,繼而求出最大值.
(2)由函數(shù)存在兩個極值點可知在上存在兩不等的實根,令,從而可知,可求出的取值范圍,結(jié)合韋達定理可求出,結(jié)合令,在上的單調(diào)性,可證明.
解:(1)由題意知,定義域為,且,
當(dāng)時,解得,此時對成立,
則在上是增函數(shù),此時最大值為,
當(dāng)時,由得,由,
取,則時,;時,,
所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),又
則當(dāng),即時,此時,在上的最大值為;
當(dāng),即時,在上的最大值為,
綜上,當(dāng)時,函數(shù)在的最大值為,當(dāng)時,函數(shù)在的最大值為1.
(2)要使存在兩個極值點,則在上存在兩不等的實根,
令,則對稱軸為,則,解得,
由韋達定理知,
.
令,,,在上單調(diào)遞減,
時,,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市教育局為了監(jiān)控某校高一年級的素質(zhì)教育過程,從該校高一年級16個班隨機抽取了16個樣本成績,制表如下:
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
測評成績 | 95 | 96 | 96 | 90 | 95 | 98 | 98 | 97 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
測評成績 | 97 | 95 | 96 | 98 | 99 | 96 | 99 | 96 |
令為抽取的第個學(xué)生的素質(zhì)教育測評成績,,經(jīng)計算得,,,,以下計算精確到0.01.
(1)求的相關(guān)系數(shù),并回答與是否可以認為具有較強的相關(guān)性;
(2)在抽取的樣本成績中,如果出現(xiàn)了在之外的成績,就認為本學(xué)期的素質(zhì)教育過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對本學(xué)期的素質(zhì)教學(xué)過程進行反思,同時對下學(xué)期的素質(zhì)教育過程提出指導(dǎo)性的建議,從該校抽樣的結(jié)果來看,是否需對本學(xué)期的素質(zhì)教學(xué)過程進行反思,同時對下學(xué)期的素質(zhì)教育過程提出指導(dǎo)性的建議?
附:樣本的相關(guān)系數(shù),若,則可以認為兩個變量具有較強的線性相關(guān)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著生活水平的提高和人們對健康生活的重視,越來越多的人加入到健身運動中.國家統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)顯示,2019年有4億國人經(jīng)常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會員中隨機抽取100人,對其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費金額(單位:元)進行統(tǒng)計,得到以下統(tǒng)計表及統(tǒng)計圖:
平均每周健身天數(shù) | 不大于2 | 3或4 | 不少于5 |
人數(shù)(男) | 20 | 35 | 9 |
人數(shù)(女) | 10 | 20 | 6 |
若某人平均每周進行健身天數(shù)不少于5,則稱其為“健身達人”.該健身房規(guī)定消費金額不多于1600元的為普通會員,超過1600元但不超過3200元的為銀牌會員,超過3200元的為金牌會員.
(1)已知金牌會員都是健身達人,現(xiàn)從健身達人中隨機抽取2人,求他們均是金牌會員的概率;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關(guān)系?
(3)該健身機構(gòu)在2019年年底針對這100位消費者舉辦一次消費返利活動,現(xiàn)有以下兩種方案:
方案一:按分層抽樣從普通會員、銀牌會員和金牌會員中共抽取25位“幸運之星”,分別給予188元,288元,888元的幸運獎勵;
方案二:每位會員均可參加摸獎游戲,游戲規(guī)則如下:摸獎箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片,其中3張印跑步機圖案、2張印動感單車圖案,有放回地摸三次卡片,每次只能摸一張,若摸到動感單車的總數(shù)為2,則獲得100元獎勵,若摸到動感單車的總數(shù)為3,則獲得200元獎勵,其他情況不給予獎勵.規(guī)定每個普通會員只能參加1次摸獎游戲,每個銀牌會員可參加2次摸獎游戲,每個金牌會員可參加3次摸獎游戲(每次摸獎結(jié)果相互獨立).
請你比較該健身房采用哪一種方案時,在此次消費返利活動中的支出較少,并說明理由.
附:,其中為樣本容量.
0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
0.455 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.636 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng),討論的零點個數(shù);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司有l000名員工,其中男性員工400名,采用分層抽樣的方法隨機抽取100名員工進行5G手機購買意向的調(diào)查,將計劃在今年購買5G手機的員工稱為“追光族”,計劃在明年及明年以后才購買5G手機的員工稱為“觀望者”調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.
(Ⅰ)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān);
屬于“追光族” | 屬于“觀望者” | 合計 | |
女性員工 | |||
男性員工 | |||
合計 | 100 |
(Ⅱ)已知被抽取的這l00名員工中有6名是人事部的員工,這6名中有3名屬于“追光族”現(xiàn)從這6名中隨機抽取3名,求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率.
附:,其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某籃球隊甲、乙兩名運動員練習(xí)罰球,每人練習(xí)10組,每組罰球40個.命中個數(shù)的莖葉圖如圖,則下面結(jié)論中錯誤的一個是( )
A. 甲的極差是29 B. 甲的中位數(shù)是24
C. 甲罰球命中率比乙高 D. 乙的眾數(shù)是21
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在多邊形中,四邊形為等腰梯形,,,,四邊形為直角梯形,,.以為折痕把等腰梯形折起,使得平面平面,如圖2所示.
(1)證明:平面.
(2)求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量,檢驗員從該生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件,測量其尺寸(單位:)并經(jīng)過統(tǒng)計分析,得到這100個零件的平均尺寸為10,標(biāo)準(zhǔn)差為0.5.企業(yè)規(guī)定:若,該零件為一等品,企業(yè)獲利20元;若且,該零件為二等品,企業(yè)獲利10元;否則,該零件為不合格品,企業(yè)損失40元.
(1)在某一時刻內(nèi),依次下線10個零件,如果其中出現(xiàn)了不合格品,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查若這10個零件的尺寸分別為9.6,10.5,9.8,10.1,10.7,9.4,10.9,9.5,10,10.9,則從這一天抽檢的結(jié)果看,是否需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查?
(2)將樣本的估計近似地看作總體的估計通過檢驗發(fā)現(xiàn),該零件的尺寸服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)從下線的零件中隨機抽取20件,設(shè)其中為合格品的個數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果保留整數(shù))
(ii)試估計生產(chǎn)10000個零件所獲得的利潤.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,為正三角形,,,,點在線段的中點,點為線段的中點.
(1)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,指出點的位置;若不存在,請說明理由.
(2)求三棱錐的體積.
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