Question

已知函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，研究函數(shù)f（x）的基本性質(zhì)并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡(jiǎn)f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，由分母不為0，和指數(shù)函數(shù)的值域，運(yùn)用奇偶性的定義和單調(diào)性的定義，注意解題步驟，即可得到．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，
則由e^2x-1≠0，解得，x≠0，定義域?yàn)閧x|x≠0}，
由e^2x=

1+y

y-1

＞0，解得，y＞1或y＜-1．即值域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）；
由于f（-x）=

e-2x+1

e-2x-1

=

1+e2x

1-e2x

=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
由于令0＜m＜n，則f（m）-f（n）=1+

2

e2m-1

-（1+

2

e2n-1

）
=

2(e2n-e2m)

(e2m-1)(e2n-1)

，由于0＜m＜n，則e^2m-1＞0，e²ⁿ-1＞0，e²ⁿ＞e^2m，
則有f（m）-f（n）＞0，f（x）在x＞0上遞減，
再由奇函數(shù)，可得f（x）在x＜0上遞減，
故f（x）在（0，+∞），（-∞，0）遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，注意運(yùn)用定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．