Question

6．一個(gè)盒子里裝有8個(gè)小球，其中有紅色小球4個(gè)，編號(hào)分別為1，2，3，4；白色小球4個(gè)，編號(hào)分別為2，3，4，5．從盒子中任取5個(gè)小球（假設(shè)取到任何一個(gè)小球的可能性相同）．
（1）求取出的5個(gè)小球中，含有編號(hào)為3的小球的概率；
（2）在取出的5個(gè)小球中，紅色小球編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“取出的5個(gè)小球中，含有編號(hào)為3的小球”為事件A，利用互斥事件概率加法公式能求出取出的5個(gè)小球中，含有編號(hào)為3的小球的概率．
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“取出的5個(gè)小球中，含有編號(hào)為3的小球”為事件A，
則$P（A）=\frac{C_2^1C_6^4+C_2^2C_6^3}{C_8^5}=\frac{25}{28}$
所以，取出的5個(gè)小球中，含有編號(hào)為3的小球的概率為$\frac{25}{28}$．
（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為1，2，3，4，
$P（X=1）=\frac{C_4^4}{C_8^5}=\frac{1}{56}$，
$P（X=2）=\frac{C_5^4}{C_8^5}=\frac{5}{56}$，
$P（X=3）=\frac{C_6^4}{C_8^5}=\frac{15}{56}$，
$P（X=4）=\frac{C_7^4}{C_8^5}=\frac{35}{56}$，
所以隨機(jī)變量X的分布列是：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{35}{56}$

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望$EX=1×\frac{1}{56}+2×\frac{5}{56}+3×\frac{15}{56}+4×\frac{35}{56}=\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．