Question

8．設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}a+b-2≥0\\ b-a-1≤0\\ a≤1\end{array}\right.$，則$\frac{b+2}{a+2}$的取值范圍為$[1，\frac{7}{5}]$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，利用$\frac{b+2}{a+2}$的幾何意義即可求出$\frac{b+2}{a+2}$的取值范圍．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）：

z=$\frac{b+2}{a+2}$的幾何意義為陰影部分的動(dòng)點(diǎn)（a，b）到定點(diǎn)P（-2，-2）連線的斜率的取值范圍．
由圖象可知當(dāng)點(diǎn)位于B時(shí)，直線的斜率最大，當(dāng)點(diǎn)位于A時(shí)，直線的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{b-a-1=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴BP的斜率k=$\frac{\frac{3}{2}+2}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{7}{5}$，由$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$可得A（1，1）
OP的斜率k=$\frac{1+2}{1+2}$=1，
∴-3≤z≤$\frac{7}{5}$．
故答案為：$[1，\frac{7}{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法．