已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足:.
(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;
(2)令,對任意,是否存在正整數(shù)m,使都成立?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
(1)詳見解析;(2)m的值為1,2,3.
解析試題分析:(1)首先由題設(shè)找到與間的關(guān)系,然后證明是一個(gè)常數(shù).(2)首先求得
,由此得,用裂項(xiàng)法可求得和.由對任意都成立,得,即對任意都成立,所以 小于等于的最小值.
(1)當(dāng)時(shí),,解得, 1分
當(dāng)時(shí),由得, 2分
兩式相減,得,即(), 3分
則,故數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為3的等比數(shù)列. 4分
(2)由(1)知,
, 6分
所以, 7分
則, 8分
由對任意都成立,得, 10分
即對任意都成立,又,
所以m的值為1,2,3. .12分
考點(diǎn):1、等比數(shù)列;2、裂項(xiàng)法求和;3、不等關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,數(shù)列{bn}滿足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn; (2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(12分)(2011•重慶)設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=an+1Sn(n∈N*).
(Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比數(shù)列,求S2和a3.
(Ⅱ)求證:對k≥3有0≤ak≤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013·天津高考)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)證明Sn+≤(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(2013•湖北)已知等比數(shù)列{an}滿足:|a2﹣a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)是否存在正整數(shù)m,使得?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在等比數(shù)列
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{an}的前5項(xiàng)的和;
(3)若,求Tn的最大值及此時(shí)n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若函數(shù)滿足:集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
(1)判斷下列函數(shù):①;②中,哪些是等比源函數(shù)?(不需證明)
(2)證明:函數(shù)是等比源函數(shù);
(3)判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù),并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,a1=2,點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).
(1)證明:數(shù)列{2an+1}是 “平方遞推數(shù)列”,且數(shù)列{lg(2an+1)}為等比數(shù)列.
(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列”的前n項(xiàng)之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Tn關(guān)于n的表達(dá)式.
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