Question

9．已知拋物線E：y²=8x，圓M：（x-2）²+y²=4，點N為拋物線E上的動點，O為坐標原點，線段ON的中點P的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）點Q（x₀，y₀）（x₀≥5）是曲線C上的點，過點Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點，求△QAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用代入法，求曲線C的方程；
（2）設切線方程為y-y₀=k（x-x₀），圓心（2，0）到切線的距離d=$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，整理可得$（{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}）{k}^{2}+（4{y}_{0}-2{x}_{0}{y}_{0}）k+{{y}_{0}}^{2}-4=0$，表示出面積，利用函數(shù)的單調性球心最小值．

解答 解：（1）設P（x，y），則點N（2x，2y）在拋物線E：y²=8x上，
∴4y²=16x，
∴曲線C的方程為y²=4x；
（2）設切線方程為y-y₀=k（x-x₀）．
令y=0，可得x=${x}_{0}-\frac{{y}_{0}}{k}$，
圓心（2，0）到切線的距離d=$\frac{|2k+{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
整理可得$（{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}）{k}^{2}+（4{y}_{0}-2{x}_{0}{y}_{0}）k+{{y}_{0}}^{2}-4=0$．
設兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，則k₁+k₂=$\frac{2{x}_{0}{y}_{0}-4{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-4}{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}}$，
∴△QAB面積S=$\frac{1}{2}$|（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{1}}$）-（x₀-$\frac{{y}_{0}}{{k}_{2}}$）|y₀=2•$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}-1}$
設t=x₀-1∈[4，+∞），則f（t）=2（t+$\frac{1}{t}$+2）在[4，+∞）上單調遞增，
∴f（t）≥$\frac{25}{2}$，即△QAB面積的最小值為$\frac{25}{2}$．

點評 本題考查直線與拋物線的綜合運用，具體涉及到拋物線的基本性質及應用，直線與拋物線的位置關系、圓的簡單性質等基礎知識，軌跡方程的求法和點到直線的距離公式的運用．