Question

18．根據(jù)下列條件求拋物線方程：
（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，$\frac{1}{4}$）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=3的拋物線方程；
（3）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線y=2x-4上的拋物線方程．

Answer 1

分析 （1）（2）設(shè)出方程，利用相應(yīng)的性質(zhì)，可得拋物線的方程；
（3）求出已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A和B，在焦點(diǎn)分別為A和B的情況下設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)照拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的公式求待定系數(shù)，即可得到相應(yīng)拋物線的方程．

解答 解：（1）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，$\frac{1}{4}$）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=y；
（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=3的拋物線方程為y²=-12x；
（3）直線y=2x-4交x軸于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，-4）
①當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為y²=2px，（p＞0），可得$\frac{p}{2}$=2，所以2p=8，
∴拋物線方程為y²=8x；
②當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x²=-2p'y，（p'＞0），可得$\frac{p′}{2}$=4，所以2p'=16，
∴拋物線方程為x²=-16y，
綜上所述，得此拋物線方程為y²=8x或x²=-16y．

點(diǎn)評(píng) 本題給出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．