Question

6．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，并且b=2
（1）若角A，B，C成等差數(shù)列，求△ABC外接圓的半徑；
（2）若三邊a，b，c成等差數(shù)列，求△ABC內(nèi)切圓半徑的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得B=$\frac{π}{3}$，根據(jù)正弦定理，即可求出半徑；
（2）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a+b+c=6，根據(jù)三角的面積公式和余弦定理和基本不等式即可求出．

解答 解：（1）由A，B，C成等差數(shù)列及A+B+C=π，得B=$\frac{π}{3}$，
設(shè)△ABC外接圓的半徑為R，由正弦定理2R=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$，R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
（2）由三邊a，b，c成等差數(shù)列得2b=a+c，
所以a+b+c=6，
設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，面積為S，則S=$\frac{1}{2}$（a+b+c）r=$\frac{1}{2}$accosB，
所以r=$\frac{acsinB}{6}$，
因?yàn)閍+c=4≥2，
所以ac≤4，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{（a+c）^{2}-2ac-4}{2ac}$=$\frac{12-2ac}{2ac}$=$\frac{6}{ac}$-1≥$\frac{6}{4}$-1=$\frac{1}{2}$（a=c取等號(hào)），
所以B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
所以sinB≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，（B=$\frac{π}{3}$時(shí)取等號(hào)），
所以r=$\frac{acsinB}{6}$≤$\frac{4×\frac{\sqrt{3}}{2}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a=c，B=$\frac{π}{3}$時(shí)取等號(hào)，即三角形為正三角形時(shí)）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面積公式和基本不等式，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題