Question

15．在（x+1）（x³+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為256，則x項(xiàng)的系數(shù)是7（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析 令x=1，則2×2ⁿ=256，解得n=7.$（{x}^{3}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{7}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$（x³）^7-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{7}^{r}$${x}^{21-\frac{7r}{2}}$．令21-$\frac{7r}{2}$=0，解得r，令21-$\frac{7r}{2}$=1，解得r．即可得出．

解答 解：令x=1，則2×2ⁿ=256，解得n=7．
$（{x}^{3}+\frac{1}{\sqrt{x}}）^{7}$的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{7}^{r}$（x³）^7-r$（\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=${∁}_{7}^{r}$${x}^{21-\frac{7r}{2}}$．
令21-$\frac{7r}{2}$=0，解得r=6，令21-$\frac{7r}{2}$=1，無解．
∴x項(xiàng)的系數(shù)=1×${∁}_{7}^{6}$=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．