Question

14．體積為$18\sqrt{3}$的正三棱錐A-BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內部，且R：BC=2：3，點E為線段BD上一點，且DE=2EB，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（　�。�

• A． [4π，12π]
• B． [8π，16π]
• C． [8π，12π]
• D． [12π，16π]

Answer 1

分析 先求出BC與R，再求出OE，即可求出所得截面圓面積的取值范圍．

解答 解：設BC=3a，則R=2a，
∵體積為$18\sqrt{3}$的正三棱錐A-BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×9{a}^{2}h$=$18\sqrt{3}$，∴h=$\frac{24}{{a}^{2}}$，
∵R²=（h-R）²+（$\sqrt{3}$a）²，∴4a²=（$\frac{24}{{a}^{2}}$-2a）²+3a²，∴a=2，
∴BC=6，R=4，
∵點E為線段BD上一點，且DE=2EB，
∴△ODB中，OD=OB=4，DB=6，cos∠ODB=$\frac{3}{4}$，
∴OE=$\sqrt{16+16-2×4×4×\frac{3}{4}}$=2$\sqrt{2}$，
截面垂直于OE時，截面圓的半徑為$\sqrt{16-8}$=2$\sqrt{2}$，截面圓面積為8π，
以OE所在直線為直徑時，截面圓的半徑為4，截面圓面積為16π，
∴所得截面圓面積的取值范圍是[8π，16π]．
故選：B．

點評 本題考查所得截面圓面積的取值范圍，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．