Question

12．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．
已知函數(shù)f（x）=${（\frac{1}{4}）^x}$+$a•{（\frac{1}{2}）^x}$-1，g（x）=$\frac{{1-m•{2^x}}}{{1+m•{2^x}}}$．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）①當(dāng)m=1時，判斷函數(shù)g（x）的奇偶性并證明，并判斷g（x）是否有上界，并說明理由；
②若m∈$（0，\frac{1}{2}）$，函數(shù)g（x）在[0，1]上的上界是G，求G的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，$f（x）=-1+{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性與值域，從而判斷；
（2）①當(dāng)m=1時，$g（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，利用奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性并利用分離常數(shù)法確定函數(shù)的上界；
②化簡$g（x）=-1+\frac{2}{{m•{2^x}+1}}$，從而確定函數(shù)的值域，從而確定上界．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，$f（x）=-1+{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，所以f（x）＞f（0）=1，
即f（x）在（-∞，1）的值域為（1，+∞）
故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上不是有界函數(shù)．
（2）①當(dāng)m=1時，$g（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，顯然g（x）定義域為R，
又$g（-x）=\frac{{1-{2^{-x}}}}{{1+{2^{-x}}}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=-g（x）$
∴g（x）為奇函數(shù)．
由于$g（x）=-1+\frac{2}{{{2^x}+1}}∈（-1，1）$，
∴|g（x）|＜1，存在M≥1為g（x）上界；
②$g（x）=-1+\frac{2}{{m•{2^x}+1}}$，
∵m＞0，x∈[0，1]，∴g（x）在[0，1]上遞減，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即$\frac{1-2m}{1+2m}≤g（x）≤\frac{1-m}{1+m}$，
又∵m∈$（0，\frac{1}{2}）$，∴$\frac{1-2m}{1+2m}＞0$；
∴$G≥\frac{1-m}{1+m}$．

點評 本題考查了函數(shù)的值域的求法，同時考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．