Question

【題目】已知函數(shù)（且）.

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

（3）當時，若不等式對于恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)（2）詳見解析（3）1

【解析】

（1）利用奇偶性的定義判斷即可；

（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可；

（3）利用函數(shù)性質(zhì)化抽象不等式為對恒成立，然后變量分離，轉(zhuǎn)求最值即可.

（1）因為函數(shù)的定義域為，

所以

所以函數(shù)為奇函數(shù).

（2）

當時，在上是減函數(shù)，

當時，在上是增函數(shù)，

證明如下：

任取，則

因為，所以，，所以

所以當時，，，

所以，故函數(shù)在上是減函數(shù).

所以當時，，所以，

所以，故函數(shù)在上是增函數(shù).

（3）由（1）知，是奇函數(shù)，，即.

當時，由（2）知，在上是減函數(shù)，從而在上是減函數(shù)，故對恒成立，即對恒成立.

因為在上是減函數(shù)，所以的值域為.

所以，故實數(shù)的最大值為1.