Question

17．已知n為正整數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，$4（{n+1}）{a_n}^2-n{a_{n+1}}^2=0$，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{{{a_n}^2}}{t^n}$
（1）求證：數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{{\sqrt{n}}}}\right\}$為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值；
（3）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的n∈N^*，均存在m∈N^*，使得8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m成立，求滿足條件的所有整數(shù)a₁的值．

Answer 1

分析 （1）由題意整理可得，$\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=2•$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，再由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，可得2b₂=b₁+b₃，解方程可得t，對(duì)t的值，檢驗(yàn)即可得到所求值；
（3）由（2）可得b_n=$\frac{n{a}_{1}^{2}}{4}$，對(duì)任意的n∈N^*，均存在m∈N^*，使得8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m成立，即有8a₁⁴•$\frac{1}{8}$n（1+n）-a₁⁴n²=16•$\frac{m{{a}_{1}}^{2}}{4}$，討論a₁為偶數(shù)和奇數(shù)，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求值．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足a_n＞0，$4（{n+1}）{a_n}^2-n{a_{n+1}}^2=0$，
∴$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{n+1}$=4•$\frac{{a}_{n}^{2}}{n}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{\sqrt{n+1}}$=2•$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$，
∴數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{{\sqrt{n}}}}\right\}$為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a₁，公比為2；
（2）解：由（1）可得：$\frac{{a}_{n}}{\sqrt{n}}$=a₁•2^n-1，
a_n=${a}_{1}{2}^{n-1}\sqrt{n}$，${b_n}=\frac{{{a_n}^2}}{t^n}$=$\frac{{a}_{1}^{2}{4}^{n-1}n}{{t}^{n}}$．
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，∴2b₂=b₁+b₃，
∴$2×\frac{{a}_{1}^{2}×4×2}{{t}^{2}}$=$\frac{{a}_{1}^{2}}{t}$+$\frac{{a}_{1}^{2}{×4}^{2}×3}{{t}^{3}}$，
解得t=4或12．
t=4時(shí)，b_n=$\frac{{a}_{1}^{2}{4}^{n-1}n}{{4}^{n}}$=$\frac{n{a}_{1}^{2}}{4}$，是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
t=12時(shí)，b_n=$\frac{n{a}_{1}^{2}}{4×{3}^{n}}$，b_n+1-b_n=$\frac{{a}_{1}^{2}（1-2n）}{4×{3}^{n+1}}$，不是關(guān)于n的一次函數(shù)，
因此數(shù)列{b_n}不是等差數(shù)列．
綜上可得t=4；
（3）解：由（2）得b_n=$\frac{n{a}_{1}^{2}}{4}$，
對(duì)任意的n∈N^*，均存在m∈N^*，使得8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m成立，
即有8a₁⁴•$\frac{1}{8}$n（1+n）-a₁⁴n²=16•$\frac{m{{a}_{1}}^{2}}{4}$，
化簡(jiǎn)可得m=$\frac{n{{a}_{1}}^{2}}{4}$，
當(dāng)a₁=2k，k∈N^*，m=$\frac{4{k}^{2}n}{4}$=nk²，對(duì)任意的n∈N^*，符合題意；
當(dāng)a₁=2k-1，k∈N^*，當(dāng)n=1時(shí)，m=$\frac{（2k-1）^{2}}{4}$=$\frac{4{k}^{2}-4k+1}{4}$=k²-k+$\frac{1}{4}$，
對(duì)任意的n∈N^*，不符合題意．
綜上可得，當(dāng)a₁=2k，k∈N^*，對(duì)任意的n∈N^*，均存在m∈N^*，
使得8a₁²S_n-a₁⁴n²=16b_m成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)和求和公式的運(yùn)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．