Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°的菱形且PD=AD=2，又PD⊥底面ABCD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點M到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PB的中點E，并連接NE，ME，容易證明DN∥ME，所以DN∥平面PMB；
（2）容易證明BM⊥AD，又PD⊥底面ABCD，BM?平面ABCD，所以PD⊥BM，即BM⊥PD，所以BM⊥平面PAD，所以得到平面PMB⊥平面PAD；
（3）連接MC，PM，容易由圖形看出三棱錐M-PBC的體積等于三棱錐P-MBC的體積，而三棱錐P-MBC的體積容易求出，而三棱錐M-PBC的底面積S_△PBC能夠求出，根據(jù)體積相等便能得到三棱錐M-PBC的高，即M到平面PBC的距離．

解答： 解：（1）如圖，取PB中點E，連接NE，ME，則NE∥DM，且NE=DM，∴四邊形DNEM為平行四邊形；
DN∥ME，且ME?平面PMB，DN?平面PMB；
∴DN∥平面PMB；
（2）連接BD，∵∠A=60°，AB=AD，所以△ABD是等邊三角形，M是AD中點；
∴BM⊥AD，又PD⊥底面ABCD，BM?底面ABCD，∴PD⊥BM，即BM⊥PD，PD∩AD=D；
∴BM⊥平面PAD，BM?平面PMB；
∴平面PMB⊥平面PAD；
（3）連接PM，MC，由圖形可以看出V_{三棱錐M-PBC}=V_{三棱錐P-MBC}；
由（2）知BM⊥AD，AD∥BC，∴BM⊥BC，且BM=2sin60°=

3

；
并且由已知條件知PD是三棱錐P-MBC的高；
∴V三棱錐P-MBC=

1

3

•

3

•2=

2 3

3

；
容易求出PB=PC=2

2

，∴S△PBC=

1

2

•2•

8-1

=

7

；
若設(shè)點M到平面PBC的距離為h，則：

1

3

•

7

•h=

2 3

3

，∴h=

2 21

7

；
即點M到平面PBC的距離為

2 21

7

．

點評：考查中位線的性質(zhì)，線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式．