Question

【題目】已知圓，點，點是圓上的一個動點，點分別在線段上，且滿足，.

（1）求點的軌跡方程；

（2）過點作斜率為的直線與點的軌跡相交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在，取值范圍是

【解析】

（1）由知為線段的中點， 由知， 故點為線段的垂直平分線上的一點，從而可得點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓，由此可得其軌跡方程；

（2）點是橢圓的右焦點，設(shè)直線.與橢圓方程聯(lián)立消去得一元二次方程，設(shè)，則，假設(shè)存在滿足題意的點，則由對角線垂直即可把表示為的函數(shù)，結(jié)合不等式性質(zhì)可得結(jié)論．

（1）由知為線段的中點， 由知， 故點為線段的垂直平分線上的一點，從而，則有，

∴點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓， ∵ ∴，∴點的軌跡方程是.

（2）由（1）知點是橢圓的右焦點，設(shè)直線.

由，消去并整理，得到.

設(shè)，則，從而

假設(shè)存在滿足題意的點，則，

∵菱形的對角線互相垂直， ∴，

即

又 ∴

即

由，且， ，

故存在滿足題意的點，且的取值范圍是.