Question

20．已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x）=2x+1，在數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=f（a_n）-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)b₁=1，公差為2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$（n∈N^*），求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由題意知：f（x）=2x+1，a_n+1=2a_n，又a₁=1，{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故${a_n}={2^{n-1}}$，
由b₁=1，d=2可得：
∴b_n=2n-1．
（2）${c_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
∴${T_n}=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$①
兩邊同乘公比$\frac{1}{2}$得，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+…\frac{2n-1}{2^n}$②
①-②得$（1-\frac{1}{2}）{T_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+…+\frac{2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n-1}{2^n}$
化簡得：${T_n}=6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．