Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x-1相切，求a的值；
（2）當(dāng)1＜x＜2時(shí)，求證：$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{1}{（x-1）（2-x）}$．

Answer 1

分析 （1）$f'（x）=lnx+\frac{x+1}{x}-a$，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則切線為y-y₀=f'（x₀）（x-x₀），又切線為y=x-1，可得$\left\{\begin{array}{l}ln{x_0}+\frac{{{x_0}+1}}{x_0}-a=1\\-{x_0}+ln{x_0}+a=0\end{array}\right.$，消a，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出x₀，a．
（2）令$g（x）=f'（x）=lnx+\frac{1}{x}+1-a，（x＞0）$，所以$g'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，可得其單調(diào)性．g（x）_min=g（x）_極小值=g（1）=2-a，當(dāng)a≤2時(shí)，即2-a≥0時(shí)，g（x）≥g（1）≥0，即f'（x）≥0，故a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，進(jìn)而證明結(jié)論．

解答 （1）解：$f'（x）=lnx+\frac{x+1}{x}-a$，設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則切線為y-y₀=f'（x₀）（x-x₀），即$y=（ln{x_0}+\frac{{{x_0}+1}}{x_0}-a）x-{x_0}+ln{x_0}+a-1$，
又切線為y=x-1，所以$\left\{\begin{array}{l}ln{x_0}+\frac{{{x_0}+1}}{x_0}-a=1\\-{x_0}+ln{x_0}+a=0\end{array}\right.$，
消a，得$2ln{x_0}-{x_0}+\frac{1}{x_0}=0$，設(shè)$g（x）=2lnx-x+\frac{1}{x}$，
易得g（x）為減函數(shù)，且g（1）=0，所以x₀=1，a=1
（2）證明：令$g（x）=f'（x）=lnx+\frac{1}{x}+1-a，（x＞0）$，所以$g'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）在（1，+∞）為單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，1）為單調(diào)遞減；
所以g（x）_min=g（x）_極小值=g（1）=2-a，
當(dāng)a≤2時(shí)，即2-a≥0時(shí)，g（x）≥g（1）≥0，
即f'（x）≥0，故a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x∈（1，2）時(shí)，f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x-1），所以$\frac{1}{lnx}＜\frac{x+1}{2（x-1）}$，①
因?yàn)?＜x＜2，所以$0＜x-1＜1，\frac{1}{x-1}＞1$，
所以$（\frac{1}{x-1}+1）ln\frac{1}{x-1}＞2（\frac{1}{x-1}-1）$，即$-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{x}{2（2-x）}$，②
①+②得：$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{x+1}{2（x-1）}+\frac{x}{2（2-x）}=\frac{2}{（x-1）（2-x）}$，
故當(dāng)1＜x＜2時(shí)，$\frac{1}{lnx}-\frac{1}{ln（x-1）}＜\frac{1}{（x-1）（2-x）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、研究切線方程、證明不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．