Question

已知圓C過點（11，0），且與圓x²+y²=25外切于點（3，4）．
（1）求兩個圓的內(nèi)公切線的方程（如果兩個圓位于公切線的異側(cè)，則這條公切線叫做兩個圓的內(nèi)公切線）；
（2）求圓C的方程．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系及其判定

專題：直線與圓

分析：（1）由切點M（3，4），求得 K_OM=

4-0

3-0

=

4

3

，可得兩個圓的內(nèi)公切線的斜率為-

3

4

，用點斜式求得兩個圓的內(nèi)公切線方程．
（2）令A(yù)（11，0），由于點M（3，4），求得MC直線方程以及線段AM的中垂線方程，聯(lián)立方程組求得C點坐標(biāo)，再求得半徑的平方，即r²=|AC|²的值，可得圓C方程．

解答： 解：（1）∵切點M（3，4），則由題意可得，兩個圓的內(nèi)公切線經(jīng)過點M，且和OM垂直．
∵K_OM=

4-0

3-0

=

4

3

∴兩個圓的內(nèi)公切線的斜率為-

3

4

，故兩個圓的內(nèi)公切線方程為 y-4=-

3

4

（x-3），
化簡可得 3x+4y-25=0．
（2）設(shè)A（11，0），切點M（3，4），∵圓x²+y²=25的圓心為原點O，圓C和它相外切，
再根據(jù)兩個圓的圓心連線經(jīng)過切點，∴可用點斜式求得直線MC（即直線MO）的方程是 4x+3y=0．
由于線段AM的中點為（7，2），AM的斜率為-

1

2

，故AM的中垂線的斜率為2，用點斜式求得線段AM的中垂線方程是 y=2x-12．
解方程組

4x+3y=0 y=2x-12

，求得C點坐標(biāo)（18，24），半徑的平方為r²=|AC|²=625，
故圓C方程是（x-18）²+（y-24）²=625．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，求圓的標(biāo)準方程，屬于中檔題．