Question

1．在△ABC中，∠C=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AC=2，M為AB中點(diǎn)，將△ACM沿CM折起，使A、B之間的距離為2$\sqrt{2}$，則三棱錐M-ABC的體積為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 先在原圖中作AD⊥MC交MC于點(diǎn)D，交BC于E點(diǎn)，將△ACM沿CM折起后，只要證明AE⊥底面BCM即可．

解答 解：在△ABC中，AB=4，AM=MB=MC=2，
由△AMC為等邊三角形，取CM中點(diǎn)D，則AD⊥CM，設(shè)AD交BC與E，則AD=$\sqrt{3}$，DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
折起后，由BC²=AC²+AB²，知∠BAC=90°，
又cos∠ECA=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．∴AE²=CA²+CE²-2CA•CEcos∠ECA=$\frac{8}{3}$，
于是AC²=AE²+CE²．∴∠AEC=90°．
∵AD²=AE²+ED²，∴AE⊥DE，
∴AE⊥平面BCM，即AE是三棱錐A-BCM的高，AE=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵S_△BCM=$\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{3}×sin30°$=$\sqrt{3}$，
∴V_A-BCM=$\frac{1}{3}{S}_{△BCM}•AE$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由平面圖形折成空間圖形求其體積，求此三棱錐的高是解決問題的關(guān)鍵．本題還可以直接過點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于E點(diǎn)，連接ME，證明AE⊥ME，即可說明AE⊥底面BCM．