Question

2．若x_n＞0，且$\underset{lim}{n→∞}$x_n=a，則a＞0不一定成立，為什么？

Answer 1

分析 對(duì)數(shù)列{x_n}討論，分{x_n}為常數(shù)列時(shí)，顯然成立；x_n=2-$\frac{1}{n}$，或當(dāng)x_n=$\frac{1}{n}$，或當(dāng)x_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，即可判斷．

解答 解：由x_n＞0，可得當(dāng)數(shù)列{x_n}為常數(shù)列時(shí)，
$\underset{lim}{n→∞}$x_n=a，顯然a＞0；
當(dāng)x_n=2-$\frac{1}{n}$，可得$\underset{lim}{n→∞}$x_n=$\underset{lim}{n→∞}$（2-$\frac{1}{n}$）
=2-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=2-0=2＞0，成立；
當(dāng)x_n=$\frac{1}{n}$，可得$\underset{lim}{n→∞}$x_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，a＞0不成立；
當(dāng)x_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，滿(mǎn)足x_n＞0，可得$\underset{lim}{n→∞}$x_n=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{n}}$=0，a＞0不成立．
綜上可得，a＞0不一定成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列極限的概念和求法，考查分類(lèi)討論的思想方法，以及推理能力，屬于基礎(chǔ)題．