17.已知四邊形ABCD滿(mǎn)足AD∥BC,BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a,E是BC的中點(diǎn),將△BAE沿AE翻折成△B1AE,使面B1AE⊥面AECD,F(xiàn)為B1D的中點(diǎn).
(1)證明:B1E∥面ACF;
(2)求四棱錐B1-AECD的體積.

分析 (1)連結(jié)ED交AC于O,連結(jié)OF,證明FO∥B1E,然后證明B1E∥面ACF.
(2)取AE的中點(diǎn)M,連結(jié)B1M,說(shuō)明△ABE為等邊三角形,說(shuō)明B1M⊥面AECD,然后求解幾何體的體積.

解答 解:(1)證明:連結(jié)ED交AC于O,連結(jié)OF,因?yàn)锳ECD為菱形,OE=OD,∴FO∥B1E,∴B1E∥面ACF.


(2)取AE的中點(diǎn)M,連結(jié)B1M,因?yàn)?BA=AD=DC=\frac{1}{2}BC=a,△ABE$為等邊三角形,則${B_1}M=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$,又因?yàn)槊鍮1AE⊥面AECD,所以B1M⊥面AECD,所以$V=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×a×a×sin\frac{π}{3}=\frac{a^2}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用,幾何體的體積的求法,考查空間想象能力以及計(jì)算能力.

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