Question

15．在平面直角坐標系xOy中曲線${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$經(jīng)伸縮變換$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=2x}\\{{y^2}=y}\end{array}}\right.$后得到曲線C₂，在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C₃的極坐標方程為$ρ=\frac{-8}{ρ-6sinθ}$．
（1）求曲線C₂的參數(shù)方程和C₃的直角坐標方程；
（2）設(shè)M為曲線C₂上的一點，又M向曲線C₃引切線，切點為N，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}x}\\{{y^2}=y}\end{array}}\right.$代入C₁得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，利用平方關(guān)系可得C₂的參數(shù)方程．由$r=\frac{8}{r-6sinq}$得r²-6rsinq=8，利用互化公式可得C₃的直角坐標方程．
（2）C₃表示以C₃（0，3）為圓心，以1為半徑的圓，$|MN|=\sqrt{|{C_3}M{|^2}-1}$．設(shè)M（2cosφ，sinφ），利用兩點之間的距離公式與三角函數(shù)的單調(diào)性可得，|MC₃|_max．

解答 解：（1）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}x}\\{{y^2}=y}\end{array}}\right.$代入C₁得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，所以C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}\right.$（φ為參數(shù)）．
由$r=\frac{8}{r-6sinq}$得r²-6rsinq=8，∴C₃的直角坐標方程為x²+（y-3）²=1．
（2）C₃表示以C₃（0，3）為圓心，以1為半徑的圓，$|MN|=\sqrt{|{C_3}M{|^2}-1}$．
設(shè)M（2cosφ，sinφ），
則$|M{C_3}|=\sqrt{{{（2cosj）}^2}+{{（sinj-3）}^2}}$=$\sqrt{4{{cos}^2}φ+{{sin}^2}φ-6sinφ+9}$=$\sqrt{-3{{sin}^2}φ-6sinφ+13}$=$\sqrt{-3{{（sinφ+1）}^2}+16}$．
∵-1≤sinφ≤1，∴|MC₃|_max=4．
根據(jù)題意可得$|MN{|_{max}}=\sqrt{{4^2}-1}=\sqrt{15}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、兩點之間的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．