Question

8．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT是⊙O的切線，P是線段AB上一點，過P作BC的平行直線與BT交于E點，與AC交于F點．
（Ⅰ）求證：PE•PF=PA•PB；
（Ⅱ）若AB=4$\sqrt{2}$，cos∠EBA=$\frac{1}{3}$，求⊙O的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解決此問的關(guān)鍵是通過平行和圓的切線性質(zhì)證明△PFA∽△PBE，繼而求得答案；
（Ⅱ）首先作直徑AH，連接BH，然后通過銳角三角函數(shù)的知識求得⊙O的半徑，繼而求得答案．

解答 （Ⅰ）證明：∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFP=∠C，
∠AFP=∠EBP，
∵∠APF=∠EPB，
∴△PFA∽△PBE，
∴$\frac{PA}{PE}=\frac{PF}{PB}$，
∴PA•PB=PE•PF；
（Ⅱ）解：作直徑AH，連接BH，
∴∠ABH=90°，
∵BT切⊙O于點B，
∴∠EBA=∠AHB
∵cos∠EBA=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠AHB=$\frac{1}{3}$，
∵sin²∠AHB+cos²∠AHB=1，又∠AHB為銳角，
∴sin∠AHB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
在Rt△ABH中，
∵sin∠AHB=$\frac{AB}{AH}$，AB=4$\sqrt{2}$，
∴AH=$\frac{AB}{sin∠AHB}$=6，
∴⊙O半徑為3；
∴⊙O的面積為：9π．

點評 此題考查了圓的切線性質(zhì)、相似三角形的判定定理及三角函數(shù)的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．