Question

3．已知三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直且長度均為10，定長為m（m＜6）的線段MN的一個端點M在棱AB上運動，另一個端點N在△ACD內(nèi)運動（含邊界），線段MN的中點P的軌跡的面積為2π，則m的值等于4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，可得MA⊥AN．即∠MAN=90°，可得AP=$\frac{1}{2}$m，且點P的運動軌跡為圓弧，是以點A為圓心，$\frac{1}{2}$m為半徑的圓的$\frac{1}{4}$，利用面積計算公式即可得出．

解答 解：如圖所示
∵三棱錐A-BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，
∴MA⊥AN．
∴∠MAN=90°，點P是線段MN的中點，
可得AP=$\frac{1}{2}$m，且點P的運動軌跡為圓弧，
是以點A為圓心，$\frac{1}{2}$m為半徑的圓的$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$×$π（\frac{1}{2}m）^{2}$=2π，
解得m=4$\sqrt{2}$．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了空間位置關系、直角三角形的性質、圓的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．