Question

17．定義g（x）=f（x）-x的零點x₀為f（x）的不動點，已知函數(shù)f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）當(dāng)a=1，b=-2時，求函數(shù)的不動點；
（2）對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)g（x）只有一個零點且b＞1，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析 （1）代入求出f（x）的表達式，根據(jù)零點的概念求出不動點；
（2）把動點問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有解恒成立問題，求解即可；
（3）動點問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有一解得出4a=$\frac{^{2}}{b-1}$，利用分離參數(shù)法得出4a=$\frac{^{2}}{b-1}$=（b-1）+$\frac{1}{b-1}$+2，由均值不等式得出答案．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-x-3
$\begin{array}{l}{x^2}-x-3-x=0，\\ x=3或-1\end{array}$
函數(shù)f（x）的不動點為3，-1；…（3分）
（2）對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個相異的不動點，
則對于任意實數(shù)b，f（x）-x=0恒有兩個不等的實數(shù)根
∴ax²+bx+b-1=0，△＞0恒成立，
∴b²-4a（b-1）＞0，
∴b²-4ab+4a＞0對任意實數(shù)b都成立，
∴△=16a²-16a＜0，
∴0＜a＜1…（8分）；
（3）g（x）=ax²+bx+b-1，函數(shù)g（x）只有一個零點，b＞1
則△=0，
∴b²-4ab+4a=0，
∴4a=$\frac{^{2}}{b-1}$=（b-1）+$\frac{1}{b-1}$+2≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)b=2時等號成立，
∵a≥1，
a的最小值為1．…（12分）

點評 本題考查了對題意的理解和二次函數(shù)的應(yīng)用，分離常數(shù)法的應(yīng)用．