Question

是否存在實(shí)數(shù)k，使得

x

3x+y

+

y

x+3y

≤k＜

2

z

+

1

1-3z

當(dāng)xy＞0，0＜z＜

1

3

時(shí)恒成立？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過適當(dāng)變形利用基本不等式即可得出．

解答： 解：∵0＜z＜

1

3

，∴1-3z＞0．
∴

2

z

+

1

1-3z

=(

6

3z

+

1

1-3z

)[3z+(1-3z)]
=7+

6(1-3z)

3z

+

3z

1-3z

≥7+2

6

，當(dāng)且僅當(dāng)z=

6

3( 6 +1)

時(shí)取等號(hào)．
令

y

x

=t，∵xy＞0，∴t＞0．
∴

x

3x+y

+

y

x+3y

=

1

3+ y x

+

1

3+ x y

=

1

3+t

+

1

1 t +3

=

1

3

+

1

3

×

8

3(t+ 1 t )+10

≤

1

3

+

1

3

×

8

3×2+10

=

1

2

．當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x=y時(shí)取等號(hào)．
∴k∈[

1

2

，7+2

6

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過變形利用基本不等式的性質(zhì)，屬于難題．