Question

已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）證明：當(dāng) a＞2時(shí)，f（x）在 R上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）首先，去掉絕對(duì)值，然后，將函數(shù) f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，針對(duì)x的取值情況，進(jìn)行每一段上判斷函數(shù)為增函數(shù)即可；
（2）則根據(jù)（1），當(dāng)x≥-1，a+2＞0，當(dāng)x＜-1，a-2＜0，f（-1）=-a＜0，求解a 的取值范圍即可．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=2|x+1|+ax（x∈R），
得f(x)=

(a+2)x+2，  x≥-1 (a-2)x-2   ，x＜-1

，
當(dāng)a＞2時(shí)，則a+2＞0，a-2＞0，
上述函數(shù)在每一段上都是增函數(shù)，
且它們?cè)趚=-1處的函數(shù)值相同，
∴當(dāng) a＞2時(shí)，f（x）在 R上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)（1），若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)
則滿足

a+2＞0 a-2＜0 f(-1)=-a＜0

，
解得0＜a＜2，
∴函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查分段函數(shù)及其單調(diào)性的判斷，函數(shù)零點(diǎn)的理解，屬于難題．