Question

（1）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n-1+1，（n≥2），證明數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）若數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n=

3

2

a_n-3，求a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）給等式a_n=2a_n-1+1兩邊都加上1，右邊提取2后，變形得到數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+1}的公比為2，根據(jù)首項為a₁+1等于2，寫出數(shù)列{a_n+1}的通項公式，變形后即可得到{a_n}的通項公式．
（2）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=

3

2

a₁-3，即可解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1即可得到a_n=3a_n-1．因此數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．

解答： 解：（1）由a_n=2a_n-1+1得a_n+1=2（a_n-1+1），
又a_n+1≠0，
∴{a_n+1}為等比數(shù)列；
∵a₁=1，
∴a_n+1=（a₁+1）q^n-1，
即a_n=（a₁+1）q^n-1-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1．
（2）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=

3

2

a₁-3，解得a₁=6．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

3

2

a_n-3-（

3

2

a_n-1-3）=

3

2

a_n-

3

2

a_n-1，化為a_n=3a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=6•3^n-1．

點評：此題考查學(xué)生掌握等比數(shù)列的性質(zhì)并會確定一個數(shù)列為等比數(shù)列，靈活運用等比數(shù)列的通項公式化簡求值，是一道綜合題．