Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x），且a＞1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷并證明f（x）在其定義域上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)f（x）=log_a（a-a^x），且a＞1．根據(jù)真數(shù)大于零構(gòu)造不等式，解不等式來求定義域；
（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用定義法可以證明；

解答： 解：（1）由a-a^x＞0得：a^x＜a，
又∵a＞1，
∴x＜1，
故其定義域?yàn)椋?∞，1）；
（2）設(shè)1＞x₂＞x₁，
∵a＞1，
∴a^x₂＞a^x₁，于是a-a^x₂＜a-a^x₁，
則log_a（a-a^x₂）＜log_a（a-a^x₁），
即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在定義域（-∞，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．