Question

2．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S₅=15，且2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差通過(guò)數(shù)列的和求出a₃，利用2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比數(shù)列，求出公差，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，S₅=15，所以a₃=3，2a₂，a₆，a₈+1成公比大于1的等比數(shù)列，
所以a₆²=2a₂（a₈+1），即：（a₃+3d）²=2（a₃-d）（a₃+5d+1），所以d=1或d=$-\frac{15}{19}$（舍去），
所以a₁=a₃-2d=3-2=1．
所以a_n=n，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為：a_n=n；
（2）由（1）可知：設(shè)${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
T_n=1×$\frac{1}{2}$+2×（$\frac{1}{2}$）²+3×（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ…①；
①×2可得：$\frac{1}{2}$T_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+2×（$\frac{1}{2}$）³+3×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（n-1）（$\frac{1}{2}$）ⁿ+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹…②，
①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹．
∴T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．