Question

12．如圖，已知F為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩條直線分別交橢圓于A、B及C、D．
（1）求證：$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$為定值；
（2）若直線CD交直線l：x=-$\frac{3}{2}$于點(diǎn)P，試探究四邊形OAPB能否為平行四邊形，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)直線AB、CD有一平行于x軸時(shí)，$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{7}{12}$，當(dāng)直線AB、CD都不平行于x軸時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=k（x+1），則直線CD：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），將直線直線AB 與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式能求出AB，同理求出CD，由此能證明$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$=$\frac{7}{12}$．
（2）假設(shè)四邊形OAPB是平行四邊形，即$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BP}$，此時(shí)直線AB、CD都不平行于x軸．P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2k}$），則$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{3}{2}-{x}_{2}$，$\frac{1}{2k}-{y}_{2}$），推導(dǎo)出$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=\frac{9}{4}}\\{{k}^{2}=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，無(wú)解，由此得到四邊形OAPB不可能是平行四邊形．

解答 證明：（1）當(dāng)直線AB、CD有一平行于x軸時(shí)，
$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{2a}+\frac{1}{\frac{2^{2}}{a}}$=$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$=$\frac{7}{12}$，…（2分）
當(dāng)直線AB、CD都不平行于x軸時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB：y=k（x+1），
則直線CD：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），
將直線直線AB 與橢圓方程聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
AB=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，…（5分）
同理：CD=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+4}$，…（6分）
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$=$\frac{3+4{k}^{2}}{12（{k}^{2}+1）}+\frac{3{k}^{2}+4}{12（{k}^{2}+1）}$=$\frac{7（{k}^{2}+1）}{12（{k}^{2}+1）}$=$\frac{7}{12}$．
綜上：$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$=$\frac{7}{12}$．故$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$為定值$\frac{7}{12}$．…（8分）
（2）假設(shè)四邊形OAPB是平行四邊形，即$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BP}$，此時(shí)直線AB、CD都不平行于x軸．
由（1），得P（-$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2k}$），則$\overrightarrow{OA}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{3}{2}-{x}_{2}$，$\frac{1}{2k}-{y}_{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{3}{2}-{x}_{2}}\\{{y}_{1}=\frac{1}{2k}-{y}_{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{3}{2}}\\{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，…（12分）
又x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，則y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=k（x₁+x₂+2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}=-\frac{3}{2}}\\{k（\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+2）=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=\frac{9}{4}}\\{{k}^{2}=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$，無(wú)解…（14分）
∴四邊形OAPB不可能是平行四邊形…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的值為定值的證明，考查四邊形是否是平行四邊形的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．