Question

16．在公差不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₂²=a₃+a₆，且a₃為a₁與a₁₁的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（-1）ⁿ$\frac{n}{（{a}_{n}-\frac{1}{2}）（{a}_{n+1}-\frac{1}{2}）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)b_n=（-1）ⁿ$\frac{n}{（3n-\frac{3}{2}）（3n+\frac{3}{2}）}$=$\frac{1}{9}$•（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）在公差d不為0的等差數(shù)列{a_n}中，a₂²=a₃+a₆，
且a₃為a₁與a₁₁的等比中項(xiàng)．
可得（a₁+d）²=2a₁+7d，且a₃²=a₁a₁₁，即（a₁+2d）²=a₁（a₁+10d），
解得a₁=2，d=3，
則a_n=2+3（n-1）=3n-1，n∈N*；
（Ⅱ）b_n=（-1）ⁿ$\frac{n}{（{a}_{n}-\frac{1}{2}）（{a}_{n+1}-\frac{1}{2}）}$=（-1）ⁿ$\frac{n}{（3n-\frac{3}{2}）（3n+\frac{3}{2}）}$
=$\frac{1}{9}$•（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{9}$•（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{9}$[-（$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$）-（$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$）+…+（-1）ⁿ•（$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n+1}$）]
=$\frac{1}{9}$[-1+（-1）ⁿ•$\frac{1}{2n+1}$）]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用方程思想，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．