Question

已知點A（1，0），B（2，2），C（3，0）．矩陣M表示變換“順時針旋轉(zhuǎn)45°”，
（Ⅰ）寫出矩陣M及其逆陣M^-1；
（Ⅱ）請求出△ABC在矩陣M下所得△A₁B₁C₁的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用旋轉(zhuǎn)變換矩陣直接可以求出相應(yīng)的矩陣；（Ⅱ）由于△ABC在旋轉(zhuǎn)變換下所得△A₁B₁C₁與△ABC全等，故三角形的面積不變，從而可求．

解答：解：（Ⅰ）M=

cos(-45°) -sin(-45°) sin(-45°) cos(-45°)

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

∵矩陣M表示變換“順時針旋轉(zhuǎn)45°”
∴矩陣M^-1表示變換“逆時針旋轉(zhuǎn)45°”
∴M-1=

cos45° -sin45° sin45° cos45°

=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

（Ⅱ）三角形ABC的面積S△ABC=

1

2

×(3-1)×2=2，
由于△ABC在旋轉(zhuǎn)變換下所得△A₁B₁C₁與△ABC全等，故三角形的面積不變，即S△A1B1C1=2．

點評：此題主要考查矩陣的乘法及矩陣變換的性質(zhì)在圖形變化中的應(yīng)用．