Question

2．已知直線兩直線l₁：xcosα+$\frac{1}{2}$y-1=0；l₂：y=xsin（α+$\frac{π}{6}$），△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，且當(dāng)α=B時，兩直線恰好相互垂直；
（Ⅰ）求B值；  
（Ⅱ）若$\frac{c}{a}+\frac{a}{c}$=4，求$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （I）利用直線相互垂直的斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)和差公式、三角函數(shù)單調(diào)性即可得出．
（II）利用余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)α=B時，直線 ${l_1}：xcosα+\frac{1}{2}y-1=0；{l_2}：y=xsin（α+\frac{π}{6}）$的斜率分別為k₁=-2cosB，k₂=sin$（B+\frac{π}{6}）$，兩直線相互垂直，
所以${k_1}{k_2}=（-2cosB）sin（B+\frac{π}{6}）=-1$，
即$cosBsin（B+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
可得$cosB（sinBcos\frac{π}{6}+cosBsin\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
所以$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinBcosB+\frac{1}{2}{cos^2}B=\frac{1}{2}$，所以$\frac{{\sqrt{3}}}{4}sin2B+\frac{1}{2}（\frac{1+cos2B}{2}）=\frac{1}{2}$
即$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2B+\frac{1+cos2B}{2}=1$
即$sin（2B+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$…（4分）
因為0＜B＜π，0＜2B＜2π，所以$\frac{π}{6}＜2B+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$
所以只有$2B+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$
所以$B=\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ） $\frac{c}{a}+\frac{a}{c}=\frac{{{a^2}+{c^2}}}{ac}=\frac{{{b^2}+2accosB}}{ac}=4$，
因為$B=\frac{π}{3}$，所以b²=3ac，即sin²B=3sinAsinC，所以$sinAsinC=\frac{1}{4}$，…（9分）
$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}=\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}=\frac{sinB}{sinAsinC}=2\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題考查了直線相互垂直的斜率之間的關(guān)系、三角函數(shù)和差公式、三角函數(shù)單調(diào)性、余弦定理、正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．