Question

1．解方程：
$（1）A_{2x}^4=60A_x^3$
$（2）C_{n+3}^{n+1}=C_{n+1}^{n-1}+C_{n+1}^n+C_n^{n-2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)排列數(shù)的公式，列出方程解方程求出x的值；
（2）根據(jù)組合數(shù)公式化簡并列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵${A}_{2x}^{4}$=60${A}_{x}^{3}$，
∴2x•（2x-1）•（2x-2）•（2x-3）=60•x•（x-1）•（x-2），
整理得4x²-23x+33=0，
解得x=3或x=$\frac{11}{4}$（不合題意，舍去），
∴方程的解為x=3；
（2）∵${C}_{n+3}^{n+1}$=${C}_{n+1}^{n-1}$+${C}_{n+1}^{n}$+${C}_{n}^{n-2}$，
∴${C}_{n+3}^{2}$=${C}_{n+1}^{2}$+${C}_{n+1}^{1}$+${C}_{n}^{2}$，
即${C}_{n+2}^{2}$+${C}_{n+2}^{1}$=${C}_{n+2}^{2}$+${C}_{n}^{2}$，
∴${C}_{n+2}^{1}$=${C}_{n}^{2}$，
即n+2=$\frac{1}{2}$n（n-1），
整理得n²-3n-4=0，
解得n=4或n=-1（不合題意，舍去），
∴方程的解為n=4．

點評 本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)公式的應用問題，也考查了解方程的問題，是基礎題目．