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19.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)經(jīng)過點(0,3),離心率e=12
(Ⅰ)求橢圓C的方程及焦距.
(Ⅱ)橢圓C的左焦點為F1,右頂點為A,經(jīng)過點A的直線l與橢圓C的另一交點為P.若點B是直線x=2上異于點A的一個動點,且直線BF1⊥l,問:直線BP是否經(jīng)過定點?若是,求出該定點的坐標(biāo);若不是,說明理由.

分析 (I)由題意可得:b=3,ca=12,a2=b2+c2.聯(lián)立解得:a,c.即可得出橢圓C的方程及其焦距.
(II)設(shè)PA的方程為:my=x-2.(m≠0).與橢圓方程聯(lián)立化為:(3m2+4)y2+12my=0,
解得P86m23m2+412m3m2+4.設(shè)B(2,t),根據(jù)t3×1m=-1,解得t=-3m.可得直線BP的方程為:y+3m=kBP(x-2),可得直線BP經(jīng)過定點(-2,0).

解答 解:(I)由題意可得:b=3,ca=12,a2=b2+c2
聯(lián)立解得:a=2,c=1.
∴橢圓C的方程為:x24+y23=1,焦距為2.
(II)設(shè)PA的方程為:my=x-2.(m≠0).
聯(lián)立{my=x2x24+y23=1,化為:(3m2+4)y2+12my=0,
解得yP=12m3m2+4,∴xP=86m23m2+4
∴P86m23m2+412m3m2+4
設(shè)B(2,t),則t3×1m=-1,解得t=-3m.
∴直線BP的方程為:y+3m=3m+12m3m2+4286m23m2+4(x-2),
化為:4y+m(6+3x)=0,令6+3x=0,4y=0,
解得x=-2,y=0.
∴直線BP經(jīng)過定點(-2,0).

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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(2)若規(guī)定數(shù)學(xué)成績不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,得到如下數(shù)據(jù)表:請你根據(jù)已知條件完成下列2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?
數(shù)學(xué)尖子生數(shù)學(xué)尖子生合計
男生
女生
合計100
參考數(shù)據(jù):
 P(K2≥k20.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 
 k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 
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