Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB．
（1）求證：CD⊥AP；
（2）若CD⊥PD，求證：CD∥平面PAB．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AD⊥AP，AP⊥AB，從而AP⊥平面ABCD，由此能證明CD⊥AP．
（2）由CD⊥AP，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD．再推導(dǎo)出AB⊥AD，AP⊥AB，從而AB⊥平面PAD，進(jìn)而CD∥AB，由此能證明CD∥平面PAB．

解答 （本小題滿分14分）
證明：（1）因?yàn)锳D⊥平面PAB，AP?平面PAB，所以AD⊥AP．…（2分）
又因?yàn)锳P⊥AB，AB∩AD=A，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD．…（4分）
因?yàn)镃D?平面ABCD，所以CD⊥AP．…（6分）
（2）因?yàn)镃D⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，PD?平面PAD，AP?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD．①…（8分）
因?yàn)锳D⊥平面PAB，AB?平面PAB，所以AB⊥AD．
又因?yàn)锳P⊥AB，AP∩AD=A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．②…（10分）
由①②得CD∥AB，…（12分）
因?yàn)镃D?平面PAB，AB?平面PAB，所以CD∥平面PAB．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．