Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：，，是拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且.

（1）若，求的面積；

（2）設(shè)是線(xiàn)段上一點(diǎn)，若與的面積相等，求的軌跡方程.

Answer 1

【答案】(1)16(2)

【解析】

分析：（1），由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)設(shè)出點(diǎn)的關(guān)系；，求出，點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面積。

與的面積相等，所以為的中點(diǎn)，利用消參法求出軌跡方程

詳解：設(shè)，，

（1）因?yàn)?/span>，

又由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所以，，

因?yàn)?/span>，所以，故，

則，又，

解得或（舍），

所以，于是的面積為.

（2）直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入，得，，

且，，

因?yàn)?/span>，所以，

故，則，

所以或（舍），

因?yàn)?/span>與的面積相等，所以為的中點(diǎn)，

則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，

故點(diǎn)的軌跡方程為.

點(diǎn)晴：圓錐曲線(xiàn)類(lèi)的題目，畫(huà)出相應(yīng)的草圖，對(duì)題目給出的關(guān)鍵信息進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化是做題的要點(diǎn)，然后選取相應(yīng)的方法進(jìn)行解決問(wèn)題，計(jì)算量較大，計(jì)算的過(guò)程中含參的較多，大家要做到多想少算。