Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a∈R），g（x）=x²-（a+1）x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，討論函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)F（x）的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即f（x），g（x）的交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=$\frac{{{x^2}-a}}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，所以 f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）=$\frac{{（{x+\sqrt{a}}）（{x-\sqrt{a}}）}}{x}$；
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{a}$時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞$\sqrt{a}$時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是$（{\sqrt{a}，+∞}）$，減區(qū)間是$（{0，\sqrt{a}}）$．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}+（{a+1}）x-alnx，x＞0$，
問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
①當(dāng)a=0時(shí)，F(xiàn)（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+x，x＞0，F(xiàn)（x）有唯一零點(diǎn)；
當(dāng)a≠0時(shí)，F(xiàn)'（x）=-$\frac{{（{x-1}）（{x-a}）}}{x}$．
②當(dāng)a=1時(shí)，F(xiàn)'（x）≤0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
所以F（x）為減函數(shù)．
注意到F（1）=$\frac{3}{2}$＞0，F(xiàn)（4）=-ln4＜0，
所以F（x）在（1，4）內(nèi)有唯一零點(diǎn)；
③當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜x＜1，或x＞a時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；
1＜x＜a時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．
所以F（x）在（0，1）和（a，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，a）上單調(diào)遞增．
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}＞0，F(xiàn)（{2a+2}）=-aln（{2a+2}）＜0$，
所以F（x）在（1，2a+2）內(nèi)有唯一零點(diǎn)；
④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜x＜a，或x＞1時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0；
a＜x＜1時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0．
所以F（x）在（0，a）和（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（a，1）上單調(diào)遞增．
注意到F（1）=a+$\frac{1}{2}＞0，F(xiàn)（a）=\frac{a}{2}（{a+2-2lna}）＞0，F(xiàn)（{2a+2}）=-aln（{2a+2}）＜0$，
所以F（x）在（1，2a+2）內(nèi)有唯一零點(diǎn)．綜上，F(xiàn)（x）有唯一零點(diǎn)，
即函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．